Una pared en el universo

Hace un tiempo, en una reunión de Instituto Baikal sobre las obras de Platón, estábamos haciendo una ronda de lo que nos llamó atención de la lectura acordada cuando alguien respondió, «¿Sabés cuál es mi opinión sobre esto? No me importa lo que yo opino.» El contexto del comentario era no querer sesgar su evaluación de Platón con opiniones prematuras, pero aunque la respuesta tenía cierta lógica, la habitación se llenó de risas y el dicho inmediatamente se volvió un código interno.

Una de las cosas más fuertes de estas reuniones sobre la filosofía antigua es encontrar en ella los ecos de las ideas modernas — las semillas de las ideas de Bergson, Kant, Freud y muchos otros se ven de forma muy directa en los diálogos de Platón y pensando en el porqué nos resultó tan gracioso este dicho, me acordé de uno de los filósofos aún más antiguos, Epiménides de Cnosos que vivió alrededor de 600 a.C.

Creo que el corazón de la gracia de este dicho y las ideas parecidas es que si analizamos la oración «No me importa lo que yo opino,» tenemos una situación absurda — si ésta en realidad es mi opinión, supuestamente también se incluiría a sí misma, lo cual nos llevaría a la conclusión que no me importa esta opinión tampoco, lo cual es una contradicción. Esto es la esencia de la paradoja de Epiménides (que es tan famosa que está incluida en la Biblia, Tito 1:12) — en esta paradoja, Epiménides, quien era un habitante de la isla Creta, dice «Todos los cretenses son mentirosos». Se ve que esta oración es imposible — si es verdadera, implica que es falsa y si es falsa, implica que es verdadera. De cierta manera, la oración curiosamente oscila entre verdad y falsedad y es la idea clave de uno de los resultados más profundos jamás producido por la mente humana — el Teorema de Gödel, el cual dice que no importa cómo construimos nuestro conocimiento lógico, siempre habrá verdades escondidas dentro de nuestros sistemas de pensamiento que no podemos alcanzar con nuestro razonamiento. Esto es el tema central del libro Gödel, Escher, Bach de Douglas Hofstadter y un motif recurrente en la arte de M.C. Escher: por ejemplo, en el cuadro arriba las manos dibujan a sí mismas. Esto también es la raíz de de la crisis más importante en la historia de la lógica cuya resolución y consecuencias desafían la manera de que normalmente vemos al mundo.

En el comienzo del siglo XX, la matemática enfrentó una serie de problemas que es conocida como la crisis fundacional: paradojas, contradicciones e inconsistencias se iban acumulando rápidamente y seguían sin resolución. Un ejemplo de esto es la paradoja de Bertrand Russell que él ilustraba así: “En una ciudad todos los hombres se afeitan — algunos se afeitan a sí mismos y otros van a un barbero. La definición del barbero, entonces, es la persona que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. ¿Y quién afeita al barbero?” Se ve que si el barbero se afeita a sí mismo, no debería hacerlo por las reglas de la ciudad y si no lo hace sí debería hacerlo. Las versiones formalmente expresadas de este tipo de paradojas producían contradicciones graves en el razonamiento lógico.

Los matemáticos liderados por David Hilbert estaban buscando establecer todo el cuerpo de razonamiento lógico de una manera rigurosa sobre una fundación de axiomas. La idea de Hilbert era que si arrancamos con los axiomas cuidadosamente elegidos y aplicamos la lógica de una manera objetiva y metódica, podemos construir una matemática libre de contradicción. Bertrand Russell, que después se volvió filósofo, en aquel entonces era uno de los matemáticos más conocidos de la época y dedicó más de 10 años de su vida a seguir el programa de Hilbert y tratar desarrollar la matemática desde principio en su obra Principia Matemática que escribió con Alfred North Whitehead.

El descubrimiento de Gödel no solamente puso un fin a estos esfuerzos sino declaró que cualquier esfuerzo de este tipo siempre va a fracasar. Su teorema (en realidad hay dos relacionados) dice que no importa qué axiomas elijas, siempre va a haber proposiciones verdaderas que no se puede comprobar a partir de los axiomas elegidos. O, si tu sistema puede comprobar cualquier proposición, inevitablemente va a contener contradicciones. El impacto fue muy fuerte y reaccionando a la teorema, Russell dijo, «Yo reconocí, por supuesto, que el trabajo de Gödel tenía importancia fundamental, pero también me resultó confuso… ¿Se aplicaría esto a la aritmética de un alumno de primaria? ¿Deberíamos pensar que 2+2=4.001? Obviamente esto no es el propósito.»

Fue un resultado bastante deprimente especialmente para Russell y todo el programa de Hilbert porque el teorema de Gödel impone un límite absoluto para nuestra lógica. Implica que nunca habrá una “Teoría del todo” que arranque con principios claros y firmes y de los cuales todo el conocimiento pueda ser derivado de forma puramente lógica.

Gödel logró hacer todo esto con un tipo de paradoja de Epiménides muy sofisticado. Consideren la oración «Esta oración es falsa.» Al igual que la paradoja de Epiménides es una oración que oscila entre falsedad y verdad y Gödel usó algo parecido. En su teorema, en vez de usar «Esta oración es falsa,» él usó lo siguiente: «Esta proposición no es comprobable». La genialidad del teorema es que él logró expresar la oración en términos de números a través de lo que hoy en día se llama «Gödel Numbering». Y, al igual que con la paradoja de Epiménides, la situación es una contradicción circular que «si tu lógica puede comprobar esta oración, se niega a sí misma y si no puede hacerlo es incompleta».

Hay mucho desacuerdo acerca de las implicancias filosóficas del Teorema de Gödel. Por ejemplo, el matemático/físico Roger Penrose dice que el teorema demuestra que las verdades vienen de de afuera de la lógica humana y afirma la posición filosófica de «Mathematical Platonism» — o sea que las verdades existen en el mundo ideal (tal como lo imaginaba Platón) y que estas verdades nos llegan a nosotros a través de procesos que en sí no son lógicos. Por ejemplo, en su libro Emperor’s New Mind, Penrose dice «Hay algo absoluto y divino acerca de la verdad matemática. La verdad real de la matemática va más allá de las construcciones humanas» (There is something absolute and God-given about mathematical truth. Real Mathematical truth goes beyond man-made constructions.) El mismo Gödel también se consideraba un «Platonista». Ludwig Wittgenstein, por otro lado, no estaba de acuerdo con este tipo de conclusiones y hay debate hasta hoy en día si él y Russell (que era mentor de Wittgenstein) interpretaron correctamente el resultado de Gödel.

Por más que el polémica acerca de implicancias sigue, los resultados de Gödel son reconocidos como hitos históricos en el desarrollo de la lógica y después hubo varios otros descubrimientos que fortalecieron la idea de Gödel. El matemático Greg Chaitin hizo una extensión de las ideas de Gödel realmente chocante. Allen Knutson, Profesor de Matemática de Cornell University dice acerca de Teorema de Chaitin, “Es una teoría increíblemente perturbadora. Es como ir al borde del universo y encontrar una pared.” Los detalles de la Teorema de Chaitin son difíciles de resumir, pero las implicaciones son que las verdades inalcanzables predichos por la Teorema de Gödel no son «raras» o «exóticas» como puede parecer a partir de su construcción que describí arriba, sino al contrario — son totalmente comunes. ¿Qué tan comunes? Tan comunes que por cada oración que podemos comprobar hay infinitas oraciones posiblemente verdaderas que nunca podemos llegar a comprobar aún en principio. Es como si estuviésemos en una pequeña isla perdida dentro de un mar infinito — todo lo que podemos saber está en esta isla y afuera solo misterio inalcanzable. Realmente una versión moderna (y como dice Allen Knutson bastante perturbadora) del dicho más famoso de Sócrates — «Solo sé que no sé nada.»

El astrónomo Carl Sagan usaba el término Los Grandes Descensos (The Great Demotions) para describir la historia humana: primero supimos que la tierra no era en el centro, después aprendimos que Sol no lo era tampoco; y ahora sabemos que estamos perdidos en el lugar muy promedio entre un sinfin de las galaxias, cada una con centenas de miles de millones de Soles. El Teorema de Gödel y sus extensiones son para mí tal vez el Gran Descenso más fuerte de todos ya que las limitaciones de lógica rigen no solo en nuestro rincón ontológico sino también en todos los universos posibles (si ellos existen o han existido).

Sin embargo, como suele pasar, el límite que impuso Gödel a la vez fue la inspiración que impulsó los descubrimientos aún más impactantes. Cuando Alan Turing empezó a escribir su tesis doctoral, su propósito era testear el razonamiento de Gödel inventando, como experimento pensando, una máquina que pueda automáticamente decidir si una proposición era verdadera o falsa a base de axiomas y reglas de lógica. Al final Turing comprobó que Gödel tenía razón y que no había manera de esquivar el límite pero dentro de unos años este paper de Turing nos llevó al invento de la computadora digital que hoy en día determina tantos aspectos de nuestra vida.

Pensando en cómo los límites a veces empujan creatividad y abren otras puertas, me acordé de la pregunta que hizo Facu en el comienzo de una de las reuniones de Platón. ¿Qué tiene que ver uno con otro los conceptos como «amor por tu pueblo,» «amor romántico,» o «amor por sabiduría?» ¿Por qué usamos la misma palabra para expresar conceptos tan distintos? La respuesta de Platón, explicada a Sócrates a través de la protagonista Diotima es que los tres conceptos del amor tienen en común la trascendencia de la muerte — a través de la sociedad que vive después de vos, a traves tus hijos o tus ideas. El límite siempre nos empuja a trascender.

Y en cuanto a la pared en el universo, tal vez es una bendición. Implica que nunca llegaremos a un punto donde hemos explicado todo con un modelo universal, que la aventura nunca terminará, que aun en el ámbito más puro y abstracto siempre habrá contradicciones y misterios por más que crezca nuestro conocimiento. Y en el universo habrá mucho más.

Referencias

  1. Gödel’s Proof by Ernest Nagel y James Newman https://www.amazon.com/G%C3%B6dels-Proof-Ernest-Nagel/dp/0814758371 
  1. Emperor’s New Mind by Roger Penrose https://www.amazon.com/Emperors-New-Mind-Concerning-Computers/dp/0192861980
  1. La Crisis Fundacional en la matemática: https://en.wikipedia.org/wiki/Foundations_of_mathematics#Foundational_crisis
  1. Gödel’s Theorem and Information: https://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/georgia.html

Destacaría también que las implicancias filosóficas del Teorema de Chaitin son, al igual que las de Teorema de Gödel, bastante polémicas. Chaitin dice que las implicaciones son que las verdades matemáticas son contingentes y aleatorias y que la matemática tiene que volverse más parecida a otras ciencias naturales (o sea experimentar más con axiomas). Por lo general, los matemáticos y los logicistas (e.g. Torkel Franzen) no están de acuerdo con interpretación tan extrema.

  1. La paradoja de Russell se trata de un conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos:

https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox

  1. Aparte de Turing, Alonzo Church y Emil Post descubrieron las ideas fundacionales de computación de forma independiente.

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